Образовательная галактика Intel®

Блог Участника

Запись блога

STEAM-проект: снежинка Коха, треугольник Серпинского и другие фрактальные объекты в GeoGebra

Все чаще звучит мысль, что результаты обучения по математике формируются не только при решении типовых задач-упражнений из учебника, а также в практической и исследовательской работе с целой группой понятий и тем, ранее не входивших ни в программы, ни в учебники по этому предмету. Такие понятия как форма, функция, система, порядок и организация могут осваиваться учащимися в теме "Фракталы".

Снежинка Коха является одним из первых исследованных учеными фракталов (подробности). Принцип ее построения заключается в том, что на каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее исходного отрезка. Попробуем создать пользовательский инструмент в GeoGebra, который бы заменял отрезок на такую ломаную.
На первом этапе нам нужно решить задачу о делении отрезка на три равные части. Это известная геометрическая задача, которую решают школьники 6-7 классов с помощью циркуля и линейки. Затем на среднем из отрезков строится равносторонний треугольник и через полученные точки проводится ломаная. Она и будет результатом (выходом) всех преобразований.
Если мы представим наш инструмент в виде волшебной палочки, которая прикасается последовательно к двум концам отрезка, то результат ее воздействия может быть изображен так:


Итак, создаем волшебную палочку ломаная Коха!

1. Построим отрезок АВ и проведем к нему перпендикулярную прямую в одном из концов этого отрезка (прямая может и не быть обязательно перпендикуляром, достаточно любого луча через конец отрезка, тем не менее, в GeoGebra лучше использовать именно перпендикуляр, так как он задается самим отрезком, не требуя лишних элементов на входе).


2. Отложим на перпендикуляре три равных отрезка (инструмент: окружность).


3. Соединим прямой EB последнюю отложенную на перпендикуляре точку и второй конец исходного отрезка.


4. Через другие две точки, отложенные на перпендикуляре, проведем прямые параллельные EB.


5. Отметим точки F и G - результат пересечения этих прямых с исходным отрезком АВ.


6. Скроем все дополнительные построения. Первый этап выполнен - мы поделили исходный отрезок на три равные части.


7. Теперь нам нужно на среднем из отрезков построить равносторонний треугольник. Для этого мы найдем его вершину (инструмент: серединный перпендикуляр к отрезку). Для нахождения вершины осталось провести окружности равных радиусов с центрами в F и G.


8. Вновь скрываем дополнительные построения и последовательно соединяем ломаной все полученные точки (инструмент: многоугольник)


9. Окрасим полученный многоугольник в нужный цвет (контур и заливка)


10. Создадим пользовательский инструмент: линия Коха. На входе точки А и В - концы отрезка. На выходе - многоугольник с отмеченными на нем вершинами. Точки вершин нужны нам отмеченными, иначе при прикосновении нашей "волшебной палочки" к концам отрезка можно промахнуться smile.gif

Результат построения может быть таким:

Cнежинка Коха, созданная при помощи инструмента "Ломаная Коха"


Треугольник Серпинского

Точно так же в geogebra можно создать пользовательский инструмент Треугольник Серпинского. Только теперь наш инструмент "волшебная палочка" должна будет касаться последовательно трех вершин треугольника, деля его на четыре равных малых треугольника и окрашивая так, как показано на рисунке:


Результат трехэтапного применения инструмента можно видеть здесь:


Видео, как построить треугольник Серпинского в GeoGebra

Творчество не знает ограничений, вот такую пирамиду Серпинского собрали в классе американские школьники.

С треугольником Серпинского и снежинкой Коха, как примерами фракталов, можно работать как в специальных программах, так и на бумаге. Какие же предметные компетенции закладываются как результаты обучения в такой учебной активности?
  • Распознавание геометрических фигур и структур в окружающей среде;
  • Применение перемещений, отражений и поворотов при создании форм, обладающих симметрией;
  • Исследование, описание и установление результатов деления, объединения, и превращения фигур;
  • Определение и описание осевой и поворотной симметрии в двух- и трехмерных формах и конструкциях;
  • Распознавание и применение геометрических понятий и отношений в областях, находящихся за пределами математики, таких как искусство, архитектура, наука и повседневная жизнь;
  • Распознавание линейных или нелинейных функций, определение их свойств из таблиц, графиков или уравнений;
  • Использование символических выражений, в том числе, итерационных и рекурсивных, представление форм и отношений, возникающих в различных контекстах.

Выдержки из математических стандартов Национального совета преподавателей математики (NCTM)

Ресурсы по фракталам

Руководство для учителей по фракталам!
разработка про треугольник Серпинского (для 1-8кл)
Урок по фракталам Лаврова Н.В. для 9 класса
ИССЛЕДОВАНИЯ ФРАКТАЛОВ В ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОМ ИСКУССТВЕ
Исследования фракталов с XaoS
Введение во фракталы
Интерактивные плакаты "Фракталы"Математики на TED: фракталы, теория всего и матемагия
Генератор фракталов
Потрясающе красивые фрактальные объекты в GeoGebra

Благодарю Елену Годунову и Светлану Любавину за помощь в сборе ссылок по теме фракталов.

Cтатьи по STEAM/STREAM проектам
Математика в стиле "мондриан" и "клее"
Математика и абстрактное искусство в STREAM-проекте
Идеи в духе STEAM: геометрический конструктор на основе рисунков Google
Идеи в духе STEAM: PicassoHead как конструктор
Постер как форма упаковки информации в STREAM-проекте: Колдер и Вазарели
STEAM-проект: генератор Кандинского и другие интерактивные апплеты в GeoGebra
STEAM-проект: черный квадрат Малевича в Desmos и GeoGebra
STEAM-проект: треугольник в GeoGebra, как получить картину?
STEAM-проект: мозаики Эшера в GeoGebra
STEAM-проект: задачи на картинах
Паркеты и площади в Desmos
STEAM-проект: снежинка Коха, треугольник Серпинского и другие фрактальные объекты в GeoGebra
STEAM-проект: по спирали!
Рисуем мандалы в GeoGebra, или Чудо поворотной симметрии
Урок виртуальной кройки: клетка, полоска, узор...
Геометрия лоскутного одеяла: новые идеи...
Богатая математика - бедная математика
Спирали и спирографы: джазовые импровизации в GeoGebra
Кривые Безье и воспроизведение картин оп-арта в GeoGebra
Что общего между снежинкой и оп-артом?
"Случайная" красота в GeoGebra
С тегом Art в GeoGebra
Национальный узор и математика
История про то, как мы делали 3D-модель школы...
Прекрасная геометрия на бумаге и не только...
Cмотри в зеркало, или Задачи на осевую симметрию в Geogebra
Конструкторы узоров для текстиля. Часть первая: рисунки Сони Делоне
"Угадать" ситчик! Ткани Варвары Степановой и Любови Поповой
Весенняя тема: создаем банданы и образцы ткани с "огурцами"
Суха теория, мой друг, а древо жизни вечно зеленеет...

Комментарии

Активный пользователь

  • Группа: Эксперт портала
  • Сообщений: 2821
  • Регистрация: 4.7.2014
  • Из: РФ, Крым, Артек
  • Номер участника: 154008
Предупреждение

Людмила, интересная и, что немаловажно, красивая работа у Вас получилась!
В ходе её прочтения появились уточняющие вопросы, которые, может быть, пойдут на пользу при дальнейшей работе над проектом.
Не считаете ли Вы необходимым для большей убедительности и доказательности правильности проведённых построений указывать геометрические теоремы, на основании которых они были проведены?
Например, в первом этапе - делении исходного отрезка на три равных части была использована теорема Фалеса: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.


--------------------
С уважением,
Любавина Светлана

Активный пользователь

  • Группа: Эксперт портала
  • Сообщений: 2821
  • Регистрация: 4.7.2014
  • Из: РФ, Крым, Артек
  • Номер участника: 154008
Предупреждение

Треугольник Серпинского по определению состоит из равносторонних треугольников. Вы же не стали фиксировать вершины. В результате треугольники по желанию пользователя могут принимать произвольную форму. Это было сделано сознательно? Вы имеете в виду какие-то дальнейшие преобразования?


--------------------
С уважением,
Любавина Светлана

Активный пользователь

  • Группа: Эксперт портала
  • Сообщений: 2821
  • Регистрация: 4.7.2014
  • Из: РФ, Крым, Артек
  • Номер участника: 154008
Предупреждение

Интересно, предложенный Вами способ построения единственный или можно найти ещё алгоритмы для построения, используя инструменты GeoGebra?


--------------------
С уважением,
Любавина Светлана

Активный пользователь

  • Группа: Эксперт портала
  • Сообщений: 3413
  • Регистрация: 11.9.2013
  • Из: с.Таскала
  • Номер участника: 142830
Предупреждение

Цитата(Любавина Светлана Валерьевна @ 17.9.2015, 11:17)
Интересно, предложенный Вами способ построения единственный или можно найти ещё алгоритмы для построения, используя инструменты GeoGebra?

Сколько же там инструментов!...
Оказывается, это увлекательно: рисовать бабочек из симметричных парабол smile.gif

Вопрос к иллюстрации в посте:
Цитата
Творчество не знает ограничений, вот такую пирамиду Серпинского собрали в классе американские школьники

Из чего сделаны треугольнички в этакой "башне"?


--------------------
Всё будет хорошо! СМИ

Активный пользователь

  • Группа: Эксперт портала
  • Сообщений: 597
  • Регистрация: 29.3.2010
  • Из: Таллинн
  • Номер участника: 84498
Предупреждение

Цитата(Любавина Светлана Валерьевна @ 17.9.2015, 9:08)
Людмила, интересная и, что немаловажно, красивая работа у Вас получилась!
В ходе её прочтения появились уточняющие вопросы, которые, может быть, пойдут на пользу при дальнейшей работе над проектом.
Не считаете ли Вы необходимым для большей убедительности и доказательности правильности проведённых построений указывать геометрические теоремы, на основании которых они были проведены?
Например, в первом этапе - делении исходного отрезка на три равных части была использована теорема Фалеса: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.


Cветлана, важные уточняющие вопросы, спасибо за них! Конечно, в Geogebra-построениях используются конкретные темы математики (геометрии), они могут проговориваться непосредственно в процессе. Думаю, что математикам эти моменты как раз понятны.
Для меня сейчас было важнее разобраться в тонкостях создания пользовательских инструмента в Geogebra.
Например, для процедуры деления данного отрезка АВ на три равные части взять не просто произвольный луч через точку А, а именно перпендикуляр, поскольку он определяется только концом отрезка, в отличие от произвольного луча через точку А, для которого нужна еще одна точка.

Это означает, что при создании пользовательского инструмента Ломаная Коха во входных данных будет только две точки, в не три, что существенно усложнило бы использование данного созданного инструмента.
Об этом написала:
Цитата
Построим отрезок АВ и проведем к нему перпендикулярную прямую в одном из концов этого отрезка (прямая может и не быть обязательно перпендикуляром, достаточно любого луча через конец отрезка, тем не менее, в GeoGebra лучше использовать именно перпендикуляр, так как он задается самим отрезком, не требуя лишних элементов на входе).

Активный пользователь

  • Группа: Эксперт портала
  • Сообщений: 597
  • Регистрация: 29.3.2010
  • Из: Таллинн
  • Номер участника: 84498
Предупреждение

Цитата(Любавина Светлана Валерьевна @ 17.9.2015, 9:14)
Треугольник Серпинского по определению состоит из равносторонних треугольников. Вы же не стали фиксировать вершины. В результате треугольники по желанию пользователя могут принимать произвольную форму. Это было сделано сознательно? Вы имеете в виду какие-то дальнейшие преобразования?


Тут, мне кажется, важнее алгоритм превращения (деления треугольника средними линиями, которые можно провести в любом треугольнике), поэтому условие равносторонности треугольника - не ключевое. Мне кажется, я ничего не нарушаю, просто использую нестрогий подход к названию smile.gif

Активный пользователь

  • Группа: Эксперт портала
  • Сообщений: 597
  • Регистрация: 29.3.2010
  • Из: Таллинн
  • Номер участника: 84498
Предупреждение

Цитата(Любавина Светлана Валерьевна @ 17.9.2015, 9:17)
Интересно, предложенный Вами способ построения единственный или можно найти ещё алгоритмы для построения, используя инструменты GeoGebra?


Нет, не единственный, конечно! Дело в том, что меня как учителя математики интересуют в Geogebra, прежде всего, cами построения - аналоги "циркуля и линейки". Пользовательский инструмент позволяет повторить преобразование счетное количество раз. У меня в апплете 3 этапа. Но "волшебная палочка" здесь работает вручную.
Знаю, что задав рекурсивный алгоритм, можно делать больше этапов преобразований, автоматизировать решение. Но тогда нужны переменные, списки, это, скорее, задача программирования.
И примеры есть, я сначала хотела их привести в посте, даже нашла апплеты, но потом сознательно решила остаться в области геометрии.

Было бы интересно, если бы информатики исследовали эти возможности...

Еще о разных способах создания треугольника Серпинского и его модификаций.

Активный пользователь

  • Группа: Эксперт портала
  • Сообщений: 597
  • Регистрация: 29.3.2010
  • Из: Таллинн
  • Номер участника: 84498
Предупреждение

Цитата(Иргалиева Светлана @ 17.9.2015, 10:48)
Сколько же там инструментов!...
Оказывается, это увлекательно: рисовать бабочек из симметричных парабол smile.gif


Да, задачи на симметрию в GeoGebra потрясающе интересны, поскольку сейчас наша школа постепенно охватывается GeoGebra-эпидемией (учителя математики учат друг друга, разбирают апплеты, придумывают все новые задачи), кое-что накопилось...
Апплеты из коллеции Людмилы Свириной:
Ромашка
Ромашки. Отражение.
Oрхидея
Фехтовальщики
Калейдоскоп Очень советую порисовать!

Про эти работы уже писала раньше: Cимметрия в Geogebra и Desmos: цветы и снежинки
Пара моих свежих тренировочных апплетов, созданных к курсу:
Свойства осевой симметрии
Кораблик

Цитата(Иргалиева Светлана @ 17.9.2015, 10:48)
Вопрос к иллюстрации в посте:
Из чего сделаны треугольнички в этакой "башне"?

А про треугольники в башне не знаю, эта картинка из американской школы. Наверное, бумага?

Активный пользователь

  • Группа: Эксперт портала
  • Сообщений: 5510
  • Регистрация: 27.11.2010
  • Из: Новосибирская область
  • Номер участника: 93856
Предупреждение

Сегодня в курсе про искусство на Универсариуме лектор, говоря о понимании Кандинским места гения в искусстве, привела треугольник Серпинского как иллюстрацию вот к этому его высказыванию (найдено потом мною):
Цитата
Большой остроконечный треугольник, разделенный на неравные части, самой острой и самой меньшей своей частью направленный вверх - это схематически верное изображение духовной жизни. Чем больше книзу, тем больше, шире, объемистее и выше становятся секции треугольника.
Весь треугольник медленно, едва заметно движется вперед и вверх, и там, где "сегодня" находился наивысший угол, "завтра" будет следующая часть, т.е. то, что сегодня понятно одной лишь вершине, что для всего остального треугольника является непонятным вздором - завтра станет для второй секции полным смысла и чувства содержанием жизни.
На самой вершине верхней секции иногда находится только один человек. Его радостное видение равнозначуще неизмеримой внутренней печали. И те, кто к нему ближе всего, его не понимают. Они возмущенно называют его мошенником или кандидатом в сумасшедший дом. Так, поруганный современниками, одиноко стоял на вершине Бетховен.
Сколько понадобилось лет, прежде чем большая секция треугольника достигла вершины, где Бетховен когда-то стоял в одиночестве. И, несмотря на все памятники, - так ли уж много людей действительно поднялось на эту вершину?
Во всех частях треугольника можно найти представителей искусства. Каждый из них, кто может поднять взор за пределы своей секции, для своего окружения является пророком и помогает движению упрямой повозки. Но, если он не обладает этим зорким глазом или пользуется им для низменных целей и поводов, или закрывает глаза, то он полностью понятен всем товарищам своей секции, и они чествуют его. Чем больше эта секция, (то есть чем ниже она одновременно находится) , тем больше количество людей, которым понятна речь художника. Ясно, что каждая такая секция. сознательно (или чаще несознательно) хочет соответствующего ему духовного хлеба. Этот хлеб ему дают его художники, а завтра этого хлеба будет добиваться уже следующая секция.
Разумеется, что схематическое изображение не исчерпывает всей картины духовной жизни


Сообщение отредактировал Елена Годунова - 18.9.2015, 17:09


--------------------
Елена Александровна Годунова, с наилучшими пожеланиями ко всем пользователям портала

Активный пользователь

  • Группа: Эксперт портала
  • Сообщений: 5510
  • Регистрация: 27.11.2010
  • Из: Новосибирская область
  • Номер участника: 93856
Предупреждение

Цитата
А про треугольники в башне не знаю, эта картинка из американской школы. Наверное, бумага?

По ссылке http://fractalfoundation.org/category/trianglethon/ множество примеров от участников гигантского флешмоба по созданию треугольников Серпинского=трианглетона
Мне кажется, этот пример можно и у нас повторить.


--------------------
Елена Александровна Годунова, с наилучшими пожеланиями ко всем пользователям портала

Активный пользователь

  • Группа: Эксперт портала
  • Сообщений: 597
  • Регистрация: 29.3.2010
  • Из: Таллинн
  • Номер участника: 84498
Предупреждение

Цитата(Елена Годунова @ 18.9.2015, 17:09)
По ссылке http://fractalfoundation.org/category/trianglethon/ множество примеров от участников гигантского флешмоба по созданию треугольников Серпинского=трианглетона
Мне кажется, этот пример можно и у нас повторить.


Да, есть магия и в самом треугольнике Серпинского и в той коллективной работе, которую можно организовать вокруг него. Елена, мы думаем над этим. Если решимся проводить, хочется вложить побольше смысла и получить побольше пользы от такой акции...

Ссылки отличные, спасибо большое!

Активный пользователь

  • Группа: Эксперт портала
  • Сообщений: 597
  • Регистрация: 29.3.2010
  • Из: Таллинн
  • Номер участника: 84498
Предупреждение

Вот неожиданно и приятно получить отзыв на фейсбуке. Оказываются, Галактику читают и даже используют smile.gif

Вот такой вопрос я разместила и
Цитата
Михаил, можно спросить, а готовые файлы на https://tube.geogebra.org/ публикуете? Дело в том, что тоже обучаеся подобным вещам с математиками своей школы. Интересно было бы посмотреть, что еще делаете...


такой ответ получила

Цитата
Людмила! Да, конечно публикуем, но я только в этом учебном году ввел в курс использование GeogebraTube и те три группы учителей, которые у меня сейчас занимаются, только учатся создавать динамические модели и размещать на GeogebraTube. Потом планируется обменяться сделанным на fb или google+, и взаимно оценить друг друга и лучшие работы поместить опять на GeogebraTube в виде альбома. Это будет где-то к концу ноября. Очень нравятся ваши stream-проекты на Гаалактике. Особенно фракталы. Потрясающая тема! Учителя уверенно строят Коха, Серпинского и др. Я использую ваши примеры на занятиях с отсылкой на Галактику. Спасибо огромное! Эти проекты очень методически правильные, хотя не все это замечают. Например, построение спирали. От спирали планируется перейти к построению кривых второго порядка, прежде всего к параболе. Самое главное - фракталы, мозаики и спираль - это именно те объекты, которые помогают раскрыть модельную природу математических понятий, вот на этом я и делаю акцент в курсе по Geogebra. Ну и плюс формирование коммуникационных навыков на базе .Google Так что в плане конкретного материала как вы спрашивали, я похвастаться не могу пока, но результататы обучения будут видны на GeogebraTube и я обязательно дам ссылку Да, и еще задачи на доказательство. Их я тоже планирую рассмотреть с учителями. Не знаю насколько я конкретно ответил Смайлик «smile» Буду рад обсуждениюsmile.gif

Пользователь

  • Группа: Пользователи
  • Сообщений: 27
  • Регистрация: 5.5.2011
  • Номер участника: 98243
Предупреждение

Я думаю, что этот материал можно использовать на уроках информатики при прохождении темы "Моделирование".


--------------------
Учиться никогда не поздно.

Активный пользователь

  • Группа: Эксперт портала
  • Сообщений: 597
  • Регистрация: 29.3.2010
  • Из: Таллинн
  • Номер участника: 84498
Предупреждение

Цитата(Наталья Марченко @ 15.10.2015, 19:05)
Я думаю, что этот материал можно использовать на уроках информатики при прохождении темы "Моделирование".


Наталья, конечно! Некоторые уже пробуют! И не только на информатике...



Подробнее на фейсбуке в ленте учителя из Москвы Светланы Зайцевой

Статьи по этой теме

« Июль 2017 »
ВПВСЧПС
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

Последние записи

Мои ссылки в блоге

Последние комментарии

Мое изображение

5 пользователей просматривает
5 гостей
0 участников
0 анонимных участников

Категории

Поиск в блоге


Наверх